MAYOR Y MENOR

“El todo es mayor que la suma de sus partes” (Aristóteles)

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Semántica y sintaxis

Un número real r1 es mayor que otro número real r2 (y se escribe r1>r2 si y solo si r1−r2 pertenece a R/+, la semirrecta real positiva o, lo que es lo mismo, si r2−r1 pertenece a R/−, la semirrecta real negativa.

Un número real r1 es menor que otro número real r2 (y se escribe r1<r2)si y solo si r1−r2 pertenece a R/−, la semirrecta real negativa o, lo que es lo mismo, si r2−r1 pertenece a R/+. la semirrecta real positiva.


Definiciones

⟨( r1>r2 =: (r1−r2 ∈ R/+) )⟩

⟨( r1<r2 =: (r2−r1 ∈ R/+) )⟩


Justificación

Es la definición formal de los operadores de comparación en función de la pertenencia a las semirrectas reales.


Ejemplos

1. (3<4)? // ev. α
   
   
2. (4<3)? // ev. θ
   
   
3. (3>4)? // ev. θ
   
   
4. (4>3)? // ev. α
   
   
5. (n = 7)
(v ← (n>5) // ev. v
   
   
6. (n1 = 7)
(n2 = 4)
(u ← ((n1>5) ← (n2<3)) →' v) // ev. v

Observaciones

• Las operaciones se pueden utilizar como condiciones o como expresiones declarativas.

Propiedades

1. ⟨( r1>r2 ↔ r2<r1 )⟩
   
   
2. ⟨( r1=r2 ↔ (r1−r2)=0 )⟩
   
   
3. ⟨( r1>r2 ↔ (1.÷r1 < 1.÷r2) )⟩
   
   
4. ⟨( (r1>r2 ∧ r>0) → (r1*r> r2*r) )⟩
   
   
5. ⟨( r1>r2 ∧ r<0 → (r1*r< r2*r) )⟩

Operadores Contrarios
Sintaxis

No mayor (o menor o igual): >' eq. ≤

No menor (o mayor o igual): <' eq. ≥


Definiciones

⟨( r1≥r2 =: ((r1>r2)? ∨ (r1=r2)?) )⟩

⟨( r1≤r2 =: ((r1<r2)? ∨ (r1=r2}?) )⟩


Ejemplos

1. (3≤4)? // ev. α
2. (3≥4)? // ev. θ

Operador Contrario “No igual” o “Distinto”
Sintaxis

No igual o distinto: =' eq. ≠


Definición

⟨( r1≠r2 =: (α ←' (r1=r2)→ θ )⟩

Definición alternativa:
⟨( r1≠r2 =: ((r1<r2)? ∨ (r1>r2)?) )⟩


Ejemplos

1. (3≠4)? // ev. α
   
   
2. (3≠3)? // ev. θ